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前言

通過在線調(diào)節(jié)進(jìn)給速率實(shí)現(xiàn)切削過程的自適應(yīng)恒力控制是大幅度提高數(shù)控銑床生產(chǎn)率的有效途徑，也是眾多學(xué)者多年來一直潛心研究的課題。然而，在前人所提出的各類自適應(yīng)恒力控制算法中，控制器的參數(shù)整定通常僅依賴于被控系統(tǒng)過去和當(dāng)前的動力學(xué)行為，而未考慮控制輸入和系統(tǒng)輸出前景的影響，且未對控制器施加合理的約束條件。因此，當(dāng)因切深或切寬突變而誘發(fā)銑削力突變時(shí)，通常會導(dǎo)致被控系統(tǒng)輸出超調(diào)或控制輸入過大。

為克服上述問題，本文針對數(shù)控銑削過程的特點(diǎn)，研究構(gòu)造有約束廣義預(yù)測控制律的方法，并據(jù)此提出一種控制器參數(shù)整定解析算法。仿真和試驗(yàn)結(jié)果表明，該方法具有工程實(shí)用性強(qiáng)，魯棒性好及可滿足實(shí)時(shí)控制要求的優(yōu)點(diǎn)。

1 無約束廣義預(yù)測控制律設(shè)計(jì)

1.1　系統(tǒng)模型

如圖1所示的數(shù)控銑削過程恒力控制系統(tǒng)由控制器和銑削過程組成。其中，伺服進(jìn)給與銑削加工兩部分串接構(gòu)成銑削過程。圖中v_f為進(jìn)給速度，F(xiàn)為實(shí)際銑削力，F(xiàn)_r為參考銑削力。
圖1　數(shù)控銑削恒力控制系統(tǒng)

綜合考慮伺服系統(tǒng)動態(tài)特性和刀具變形等因素，瞬態(tài)銑削過程可簡化為一二階線性系統(tǒng)

A(z^-1)f(t)=B(z^-1)v_f(t-1)
　　　　　　　(1)

式中　A，B——向后傳遞算子z^-1的多項(xiàng)式，且

A(z^-1)=1+a₁z^-1+a₂z^-2

B(z^-1)=b₀+b₁z^-1系數(shù)a₁、a₂、b₀和b₁可用遞推最小二乘法估計(jì)。

1.2　無約束廣義預(yù)測控制律設(shè)計(jì)

　　首先利用恒等式P_jAΔ+z^-jQ_j=1和P_jB=R_j+z^-jR_j得到式(1)輸出的j步預(yù)測

　　　　　　　　　　　　(2)

及輸入、輸出的已知部分

　　　　　　　　　　　　　　　(3)

式中　P_j，Q_j，R_j， src=/images/t0501.gif width=19 height=20 alt=t0501.gif (148 bytes)>——為向后傳遞算子z^-1的多項(xiàng)式，無物理意義

　　然后取如下預(yù)測廣義最小方差作為性能指標(biāo)函數(shù)

　　　　　　　　　　　　　　　　(4)

式中　ρ——權(quán)函數(shù)

　　　N——輸出預(yù)測前景

　　　N_v——控制前景

假設(shè)在N_v步后，進(jìn)給速度增量為零，即Δv_f(t+j-1)=0，j>N_v，可得到控制器的最優(yōu)控制增量序列

　　　　　　　　　　　　　(5)

式中　　　　　　　　Δv_f=［Δv_f(t)　Δv_f(t+1)…

　　　　　　　　　　　　　Δv_f(t+N_v-1)]^T

　　　　　　　　　　　F_r=［F_r(t+1)　F_r(t+2)…

　　　　　　　　　　　　　F_r(t+N_v-1)]^T

　　　　　　　　　　　

令g表示(R_TR+ρI)^-1的第一列，則當(dāng)前時(shí)刻的控制輸出應(yīng)為

　　　　　　　　　　　　(6)

理論分析及仿真表明，當(dāng)N_v=2時(shí)可保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；取N=5及ρ=80可得到優(yōu)質(zhì)的閉環(huán)性能。

2 約束條件

工程實(shí)踐表明，數(shù)控銑削過程恒力控制需考慮如下約束：①進(jìn)給速度應(yīng)在機(jī)床設(shè)計(jì)范圍內(nèi)且保證銑削力小于機(jī)床—刀具—工件系統(tǒng)的極限允荷。②進(jìn)給速度增量應(yīng)小于各坐標(biāo)的加減速極限，且在刀具空切時(shí)應(yīng)限制增量上限以免切入時(shí)因銑削力過大造成刀具破損。③當(dāng)實(shí)際銑削力大于設(shè)定值時(shí)，應(yīng)盡快降低進(jìn)給速度。④應(yīng)有效地控制銑削力超調(diào)以避免刀具變形對表面質(zhì)量的影響。綜上所述，數(shù)控銑削過程的恒力控制需對進(jìn)給速度及其增量、實(shí)際銑削力上升時(shí)間和超調(diào)施加約束。

2.1　進(jìn)給速度約束

設(shè)在控制前景內(nèi)的進(jìn)給速度v_f(t+j-1),j=1,…，N_v的上、下限值為vf0和vf1，由

　　　　　

可導(dǎo)出增量形式的進(jìn)給速度約束條件

j=1，…，N_v　　

寫成矢量形式有

　　　　　　LΔv_f≤v_f1及-LΔv_f≤-v_f0　　　　　　　　　　　　　　(7)

式中　L——元素為1的N_v×N_v下三角矩陣

　　　vf0=［vf0-vf(t-1)…vf0-vf(t-1)]^T

　　　vf1=［vf1-vf(t-1)…vf1-vf(t-1)]^T

2.2　進(jìn)給速度增量約束

　　令進(jìn)給速度增量Δvf(t+j-1)，j=1,…，N_v的上、下限為Δv_f0和Δv_f1，可得進(jìn)給速度增量的約束條件

Δv_f0≤Δv_f(t+j-1)≤Δv_f1　　j=1,…,N_v

表示成矢量形式為

Δv_f≤Δv_f1及-Δv_f≤-Δv_f0

(8)

式中　Δv_f0=［Δv_f0，…，Δv_f0]^T

　　　Δv_f1=［Δv_f1，…，Δv_f1]^T

2.3　瞬時(shí)銑削力上升時(shí)間約束

若當(dāng)前銑削力F(t)大于設(shè)定值F_r且限定下降時(shí)間為t_d，則對于給定的控制周期T可計(jì)算出所需周期數(shù)k_d=t_d/T。相應(yīng)的約束條件可表示為F(t+j)≤F_r，j=k_d，…，N。由式(2)可導(dǎo)出相應(yīng)的約束條件為

　　　　　　　　　　　　　　

或?qū)懗墒噶啃问?p style="font-size:12px;line-height:18px;">

　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9)

式中　R_d——表示由矩陣R的k_d到N行構(gòu)成的(N-k_d+1)×N_v子陣

同理，若當(dāng)前銑削力小于設(shè)定值，且限定上升時(shí)間為t_u，相應(yīng)的控制周期數(shù)為k_u=t_u/T，則約束條件可表達(dá)

　　　　　　　　　　　　　　　　(10)

式中　R_v——表示由矩陣R的k_u到N行構(gòu)成的(N-k_u+1)×N_v子陣

2.4　瞬時(shí)銑削力超調(diào)

若當(dāng)前銑削力F(t)小于設(shè)定值F_r，可用F(t+j)≤F_r，j=1，…，N避免超調(diào)。由式(2)可將約束條件寫成矢量形式

　　　　　　　　　　　　　　　　(11)

同理，若當(dāng)前銑削力大于設(shè)定值，則相應(yīng)約束條件應(yīng)該寫為

　　　　　　　　　　　　　　　(12)

3 有約束廣義預(yù)測控制律設(shè)計(jì)

3.1　性能指標(biāo)

綜合性能指標(biāo)函數(shù)式(4)與約束條件式(7)～式(12)，銑削過程有約束廣義預(yù)測恒力控制律設(shè)計(jì)可歸結(jié)為求解如下二次規(guī)劃(QP)問題

　　　　　　　　　　　(13)

DΔvf≤c　　　　　　　　　　　　　　　(14)

式中　H=R_TR+ρI

　　　

　　　D=［L-L　I-I(R_d，-R_u)_T(-R,R)_T］_T

　　　

　　　D——k×N_v矩陣

　　　c——k維矢量

　　　k=2(N+N_v)-(k_d，k_u)+1

　　當(dāng)F(t)>F_r時(shí)，(，)內(nèi)的值取前項(xiàng)，否則取后項(xiàng)。

3.2　解析算法

　　由式(13)知，性能指標(biāo)函數(shù)一般為優(yōu)化空間(Δv_T，J)∈R^N_v+1中的超曲面。注意到控制前景為N_v=2，故求解QP問題可在三維空間中進(jìn)行。此時(shí)因Δv的分量為Δv_f(t)和Δv_f(t+1)，故由式(14)知第i個約束條件可表示為

d_1iΔv(t)+d_2iΔv(t+1)≤c_i(15)

在實(shí)際控制問題中，因Δv_f(t)和Δv_f(t+1)僅在由二者張成平面的第Ⅰ象限(F(t)r)和第Ⅲ象限(F(t)>F_r)，故可定義如下兩類約束條件：

定義：若約束條件與坐標(biāo)軸構(gòu)成閉域或與坐標(biāo)軸構(gòu)成一帶狀區(qū)域，則稱為第一類約束條件；否則稱為第二類約束條件。

圖2　無約束極小值點(diǎn)的位置

設(shè)兩類約束條件數(shù)分別為k′和k-k′，則由上述定義和圖2知，無約束極小值點(diǎn)的位置存在三種情況：①極小值點(diǎn)在可行域內(nèi)，無約束解即為有約束解。②不滿足第一類約束條件p_i(i=1,…，k′)。③不滿足第二類約束條件p′_j(j=k′+1,…，k)。據(jù)此，可構(gòu)造有約束廣義預(yù)測控制律解析解法。

　　當(dāng)性能指標(biāo)函數(shù)的無約束極小值點(diǎn)在可行域內(nèi)時(shí)，任一平行于J軸的平面Γ的方程為

γ′₀+γ′₁Δv_f(t)+γ′₂Δv_f(t+1)=0

故有

　　　　　　　　　　

　

因此

　　 src=/images/g0520.gif width=302 height=69 alt=g0520.gif (2051 bytes)>

顯然，性能指標(biāo)函數(shù)與Γ的交線滿足如下拋物線方程

　　　

注意到，故進(jìn)給速度的解析解答為

　　若性能指標(biāo)函數(shù)的無約束極小值點(diǎn)在可行域之外，注意到平面Γ通過無約束極小值點(diǎn)(線)并與可行域相交，且平面Γ與性能指標(biāo)函數(shù)J的交線J_Γ在極小點(diǎn)任一側(cè)是單調(diào)上升的，故有約束極小點(diǎn)必為Γ與可行域邊界的交點(diǎn)。據(jù)此，可經(jīng)求交運(yùn)算和比較交點(diǎn)坐標(biāo)獲得約束條件邊界，然后在約束邊界上用解析法求得進(jìn)給速度的解析解答。

　　計(jì)算機(jī)仿真表明，與無約束控制策略相比，閉環(huán)系統(tǒng)的性能可得到顯著改善，且算法可滿足實(shí)時(shí)控制要求。

圖3　試驗(yàn)裝置示意圖

圖4　工件形狀

圖5　恒力銑削

圖6　普通銑削
進(jìn)給速度40×36%=14.4 mm/min

4　切削試驗(yàn)

切削試驗(yàn)設(shè)備為Cincinatti H1000臥式加工中心，控制器為DSPmaster-C50信號處理板。試驗(yàn)過程中，安裝在主軸末端的光電編碼器提供每轉(zhuǎn)1024脈沖作為DSP板的外部時(shí)鐘以保持采樣周期與主軸轉(zhuǎn)速同步。由KISTLER測力儀拾取的切削力信號經(jīng)電荷放大濾波后由DSP板按有效值合成，并按前述算法計(jì)算控制指令?？刂浦噶罱?jīng)光隔功放輸入給數(shù)控系統(tǒng)內(nèi)置PLC，并通過改寫進(jìn)給倍率寄存器實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)進(jìn)給速度(見圖3)。此種接口方案的優(yōu)點(diǎn)是僅需變更PLC程序而無需改變CNC硬件。設(shè)定兩次測得有效力信號后，估計(jì)器和控制器開始工作。

試驗(yàn)條件如下。

• 刀具：直徑24 mm三齒高速鋼螺旋棒銑刀，螺旋角30°。
  

• 工件：Q235優(yōu)質(zhì)碳素鋼(幾何尺寸見圖4)。
  

• 切削條件：主軸轉(zhuǎn)速300 r/min，徑向切深4 mm，軸向切深分別為15 mm、20 mm、25 mm和30 mm四擋，切削長度分別為50 mm、40 mm、30 mm和20 mm四擋，逆銑，油冷。

• 控制器參數(shù)設(shè)定：銑削力設(shè)定值400 N，CNC編程速度40 mm/min，進(jìn)給倍率最小值和最大值按數(shù)控系統(tǒng)原值設(shè)定，分別為0和120%，每擋間距為4%。控制指令取整使用舍去小數(shù)點(diǎn)方法，以保證穩(wěn)態(tài)銑削力小于設(shè)定值?？刂破黝A(yù)選參數(shù)取值為N_v=2、N=5和ρ=80，控制效果如圖5。

由試驗(yàn)結(jié)果可見，在空切階段由于銑削力為零，進(jìn)給速度迅速上升至設(shè)定上限，即40×120%=48mm/min。當(dāng)進(jìn)入切削后，由于銑削力大于設(shè)定值，控制器調(diào)節(jié)進(jìn)給速度，使得銑削力很快跟蹤設(shè)定值。由于進(jìn)給速度分擋造成銑削力不是精確等于設(shè)定值，但在整個切削過程當(dāng)中，穩(wěn)態(tài)銑削力始終小于設(shè)定值，達(dá)到了預(yù)期的控制效果。當(dāng)軸向切深為30mm時(shí)，進(jìn)給速度達(dá)到設(shè)定下限，即40×36%=14.4 mm/min。

　　圖6示出了切削條件不變既不實(shí)施恒力控制，當(dāng)CNC編程進(jìn)給速度為40
mm/min，進(jìn)給倍率為36%時(shí)的銑削力結(jié)果。由圖可見，最大銑削力約為400N，即等于恒力銑削中的銑削力設(shè)定值。然而，若不記空切階段，普通銑削大約用時(shí)620s，而恒力銑削僅用時(shí)380s，可見銑削效率的提高是非常顯著的。

5　結(jié)論

本文研究數(shù)控銑削過程的有約束廣義預(yù)測控制方法，得到如下結(jié)論：

1. 廣義預(yù)測控制因計(jì)入被控系統(tǒng)輸入、輸出前景的影響，故穩(wěn)定性和輸出性能優(yōu)良，且算法結(jié)構(gòu)適合包含約束條件。
   

2. 針對數(shù)控銑削過程的特點(diǎn)提出的四種約束條件可顯著改善被控系統(tǒng)的輸出性能。
   

3. 所提出的有約束廣義預(yù)測控制律解析算法可滿足數(shù)控銑削恒力控制的實(shí)時(shí)性要求。

文章來源：中國刀具信息網(wǎng)　　添加人：阿刀